Темељни проблеми филозофије математике

Најједноставнија питања у филозофији математике упућују на дубока питања: зашто је 1+1 = 2? Зашто изјава „1+1 = 2” осетити толико различито од изјаве попут „јуче је падала киша“? Што се тога тиче, шта уопште подразумевамо под „1”, „2”, …? Да ли '1' постоји? Ако јесте, како и где? Ова питања су била доступна филозофима све док се математика практикује. Она су, као и многа питања филозофије, веома општа и веома је тешко одговорити – да би се добио прави смисао изјава попут „1+1 = 2“, чини се да је потребно много филозофске машинерије, као што је био случај са предмодерни продори у филозофију математике. Од Платона, преко Лајбница, до Канта, одговори на горња питања довели су до и формирали део већег система: филозофије математике.

Филозофија математике: од најједноставнијих до најсложенијих питања

И математика и филозофија су се много промениле за не тако дуго времена. Старе бриге још увек воде истраживање: филозофи математике треба да одреде какву врсту постојања имају објекти као што су „1“ и „круг“, а каква је истина изјавама попут „1+1 = 2“. Али модерна математика поставља филозофима нова и узнемирујућа питања и указује на објекте чију је природу још теже утврдити. Ова питања су изазвала тако разнолике и наизглед неспојиве одговоре да филозофија математике може изгледати као чудан спорт у којем се бира страна и религиозно брани од свих других. Важно је напоменути да постоји толико много „страна“ да је немогуће надати се да ћете их све покрити у тако кратком уводу као што је овај који тренутно читате.

Ово уопште не значи да филозофија математике пати од већег мноштва мишљења од других области филозофије. Међутим, да бисте стекли осећај за тежак посао филозофског размишљања о математици, најбоље је не изгубити из вида математичке проблеме који стоје иза ових различитих школа. Занимљива карактеристика филозофије математике је тенденција да истинска математика, а не само више филозофије, изникне из филозофског истраживања, као и да математички напредак наиђе на дубока темељна питања. Филозофија математике, с једне стране, и метаматематика (проучавање основа математике помоћу математичких техника) с друге стране, сасвим су директно историјски повезане, и свака је постала све важнија за другу.

Давид Хилберт: Велики пројекат у (филозофији) математике

Хајде да погледамо историјски лук који се дотиче многих кључних питања у филозофији математике, микрокосмоса интеракције између чисте филозофије и чисте математике: пројекат математичара Давида Хилберта, а посебно његов спор са другим утицајним мислиоцем , Л.Е.Ј. Броувер. Како је чиста математика сазревала у 19. веку и наилазила на све апстрактније и неинтуитивније појмове, и математичари и филозофи су јасно видели потребу да се озбиљно испитају основе предмета. Међу њима је био Хилберт, централни играч у настојању да се постави основа за логичну и робусну тему у практичном смислу. Надао се да ће гледиште да је математика савршена, рационална наука, коју деле толико филозофа, преточити у нешто конкретно.

Хилбертова мисао је била мотивисана оним што је у његово време био дубоко модеран развој математике. Конкретно, желео је да пружи стални дом у математици трансфините . Рад Болцано и Цантор у теорији скупова (скуп који је наивно само колекција ствари организованих под етикетом) озбиљно и ригорозно се бавио идејом стварна бесконачност; то јест, бесконачним објектима се додељује сопствено постојање. На пример, скуп од све цели бројеви {1, 2, …} као објекат сам по себи је стварни бесконачан; с друге стране, када се бавимо само произвољно великим бројевима, потребан је само појам потенцијал бесконачан, који се вековима налазио у онтолошком алату математичара. Филозофи из свих доба су повлачили ову разлику – сам појам стварног бесконачног није био нов. Ипак, Кантор је по први пут извукао њене импликације у теорији скупова. Кључ је био једноставан начин да се преиспита појам броја.

Скупови, бројање и бесконачност

Наша свакодневна идеја о величина сета своди се на једноставно бројање: дате две колекције ствари, можемо рећи да ли су исте величине или не тако што пребројимо ствари у свакој колекцији и упоредимо одговоре – ја имам три јабуке, ти имаш три банане. Кантор је ушао у појам „бити исте величине као“ и апстраховао појам преписка један на један: сетови су исте величине један као други ако неко може да упари њихове елементе – ако свакој вашој банани могу да доделим тачно једну своју јабуку. Али, са овом једноставном апстракцијом добијамо, бесплатно, начин да разговарамо о „величини“ бесконачних скупова: две бесконачне колекције можемо назвати исте величине ако можемо да их ставимо у такву кореспонденцију један-на-један. Како се испоставило, постоје бесконачни скупови који се не могу повезати један на један на овај начин. Деси се, на пример, да буде „више“ реални бројеви (то јест, све бројевне праве – бесконачне децимале и све) него цели бројеви, упркос томе што су обе колекције бесконачне.

Канторова теорема: бесконачне бесконачности

Постаје чудније – Канторова теорема говори нам, у суштини, да постоје много различитих бесконачности: бесконачно много, у ствари, и с обзиром на било коју бесконачну колекцију, увек постоји већа. Овај нови начин бављења концептом броја довео је до проучавања кардинали, које су у извесном смислу радикално проширење бројања које нам омогућава да говоримо о свим врстама стварних бесконачности.

Ови чудни феномени доводе до тога да се многи водећи математичари снажно повлаче против овог новог стварног бесконачног, као што је Анри Поенкаре, који је изјавио да „Не постоји стварна бесконачност, канторијанци су то заборавили, па су упали у контрадикцију. Канторове идеје, иако су сада скоро свеприсутне у математици, у почетку уопште нису биле популарне.

Али за неке – међу њима и Хилберта – овај прекид од коначног био је велика победа за слободан развој математике. За Хилберта је математичка исправност Канторовог бесконачног била питање од велике естетске важности, што се може схватити из његовог озлоглашеног цитата: „Ф из раја, који је Кантор створио за нас, нико нас неће моћи протерати ”.

Математички реализам против математичког формализма

Разлике у перспективама у филозофији математике могу се делимично калибрисати ставовима према овим новим бесконачностима. Хилбертов став га је ставио у директну опозицију са другим истакнутим мислиоцем, Л. Е. Ј. Броувером, што је довело до злогласног филозофског ривалства.

Хилберт је видео математику као неку врсту игре, која се бави искључиво манипулацијом симбола према одређеним правилима, гледиште познато као формализам . Ово гледиште не забрањује нужно тумачење ове „игре формула“ као на-овај или-она-начин повезане са стварношћу, али, у свом основном облику, захтева мање посвећености проблематичним математичким „ентитетима“ него старијим облицима математички реализам , као такав платонизам (поглед који се, наравно, враћа на Јело , који сматра да математички објекти попут „1“ и „круг“ заиста постоје као стални објекти на начин који је независан од нас и нашег разумевања њих). Брауер је разумео математику на трећи начин, радикално различит из обе ове перспективе.

Једна од познатијих Хилбертових теорема и срж тачке дубоког неслагања између њега и Брауера је његова тзв. Теорема о основи . Ситнији детаљи су ирелевантни: оно што је филозофима било занимљиво, а Брауеру замерљиво, био је начин на који је Хилберт то доказао. Хилбертова теорема о основи је теорема постојања – има облик „ постоји најмање један Кс’. Математичари, када имају задатак да покажу да „постоји најмање један Кс“, могу да заузму један од два приступа: морају или показати како пронаћи такав Кс или показати да је немогуће да таквог Кс нема. Докази прве врсте се називају конструктивне , а докази друге врсте се називају неконструктивне. Хилбертов доказ основне теореме био је неконструктиван. Броувер је оспорио: основао је и страствено бранио приступ математичкој филозофији познат као интуиционизам .

Интуиционизам и конструктивизам

Интуициониста одбија да посматра математичке објекте као ствари које нису конструисане активношћу ума. За Броувера, неконструктивне технике доказивања какве је користио Хилберт биле су озбиљно проблематичне. Шира школа математичке филозофије која одбацује ове неконструктивне доказе позната је као конструктивизам . Конструктивисти често одбацују постојање стварног бесконачног у математици, која је као независно гледиште позната као финитизам (заједно са својим прилично рубним рођаком, ултрафинитизам , који одбацује чак и коначне објекте који су „превелики да би се разумно конструисали“). Хилберт и Брауер су тако понудили не само различите перспективе на стварност и валидност математичких објеката, већ и радикално различите начине извођења математике.

Оба су покренула нову студију у самој математичкој логици: интуиционистичка логика проучава логичке системе без закона искључене средине и до данас је активно поље истраживања. Још познатије је, међутим, да је рани Хилбертов формалистички приступ имао за оптимистичан циљ стварање аксиоматског система (аксиоме су почетне изјаве које се увек претпостављају истините) из којег би се могла извести сва математика и који је сам по себи био ослобођен контрадикција. Ови појмови – односно тзв потпуност и доследност у математичкој логици – чинило се да су обе ствари савршено разумне ствари које треба тражити од ваших изабраних математичких основа.

Хилберт је 1900. објавио листу од 23 проблема за које је сматрао да су на врху тадашње савремене математике. Други на листи је био да покаже да су његови аксиоми аритметике доследни. Овај систем аксиома је нудио уобичајене основне аритметичке структуре које су нам познате – бројеве, сабирање, одузимање, итд. – и, надало се, био је довољно моћан да формализује остатак математике.

Геделова теорема о непотпуности: невоља у рају

Сада већ озлоглашене две теореме о непотпуности Курта Гедела укидају звјезданија тумачења Хилбертовог пројекта показујући да Не систем аксиома који садржи аритметику може доказати сопствену доследност. То су прецизне и суптилне логичке теореме и филозофи су били опрезни у разматрању њихових последица по математички реализам (сам Гедел је још увек био посвећен платонист).

Иако Хилбертов програм није био нужно у потпуном застоју након Гедела, теореме су биле преломни тренутак за математичку логику – и од тада су биле предмет бескрајне филозофске расправе. Хилбертов приступ није био ни прва ни последња реч о аксиоматским основама математике. Постојали су многи велики пројекти.

Фреге, а касније Расел, предводили су логичар приступ, који је имао за циљ да сведе математичке теореме на пропозиције логике. Расел је чувено пронашао озбиљан проблем у Фрегеовом приступу – један од његових аксиома, који је био да дозволи стварање скупа позивањем на скуп свих ствари које задовољавају дато својство, пао је у супротност, сада познату као Раселов парадокс: да је скуп свих скупова који не садрже себе, бесмислени ентитет, дозвољен овим законом. Заузврат, чинило се да су Геделове теореме кочиле Раселове логистичке амбиције, а математичари су се окренули мање амбициозним приступима. Фреге и Расел су и сами били саставни део раног развоја Лудвиг Виттгенстеин , чији рад има широк спектар даљих импликација за филозофију математике, укључујући статус логике и њихов однос са природним језиком.

Стара питања, нова питања: Будућност филозофије математике

На крају је пронађено радно решење за проблем аксиоматизације теорије скупова у форми аксиома Зермело-Фраенкел (заједно са аксиомом избора, историјски контроверзном ако је то мање данас)... У практичном смислу ова онтологија – која садржи само један објекат, а комплет , од којег је све конструисано – данас је „подразумевано” за математичаре (иако никако није једини избор).

Зермело-Фраенкел теорија скупова лежи на целом путу од филозофске спекулације до конкретног математичког знања – сада је и сама математички објекат који проучавају логичари. Али баш као што је Канторов појам о комплет довео у питање начин на који филозофи размишљају о математици, тако да новије апстракције почињу да раде исто, како нови темељни приступи долазе и одлазе. Не само да су стара питања још увек свежа, већ и нова питања настају из нових идеја у математици, која никада не успевају да заокупе филозофе, како се међуигра између филозофије и математике продубљује.